第26页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1) 因为AD平分∠BAC，AD⊥BC，$

$所以∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.$

$在△ABD和△ACD中$

$\begin{cases}∠BAD=∠CAD，\\AD=AD， \\∠ADB=∠ADC，\end{cases}$

$所以△ABD≌△ACD，$

$所以AB=AC.$

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$解:(2) ①因为AD是△ABC的角平分线，AD⊥BF，$

$所以△ABF是等腰三角形，$

$所以AB=AF，∠ABF=∠AFB，$

$BE=EF= \frac {1}{2}\ \mathrm {BF}.$

$因为∠ABF=2∠C，$

$所以∠AFB=2∠C.$

$又∠AFB=∠FBC+∠C，$

$所以∠FBC=∠C，$

$所以BF=CF，$

$所以BE=\frac {1}{2}CF=\frac {1}{2} (AC-AF)$

$=\frac {1}{2} (AC-AB).$

$②分别延长AB，CD交于点H.$

$因为AD平分∠CAB，AD⊥CD，$

$所以△ACH是等腰三角形，$

$所以AC=AH，CD=DH= \frac {1}{2}\ \mathrm {CH}，$

$所以S_{△BCD}= \frac {1}{2}\ \mathrm {S}_{△BCH}，$

$所以当△BCH 的面积最大时，△BCD的面积最大.$

$因为AC-AB=\sqrt{2} ，$

$所以BH=AH-AB=AC-AB= \sqrt{2} .$

$因为BC= \sqrt{7} ，$

$所以当BC⊥AH时，△BCH的面积最大，此时CH= \sqrt{BH²+BC²} =3，$

$所以 CD= \frac {1}{2}CH= \frac {3}{2} .$

$故当△BCD的面积最大时，CD的长为 \frac {3}{2} .$

$解:(3) 分别延长MO，NO交AB于点P，Q.$

$因为AO，BO分别平分∠BAC和∠ABC，$

$OM⊥OA，ON⊥OB， $

$所以△AMP和△BNQ都是等腰三角形，$

$所以AM=AP，MO=PO，BN=BQ，NO=QO$

$在△MON和△POQ 中，$

$\begin{cases}MO=PO\\∠MON=∠POQ，\\NO=QO，\end{cases}$

$所以△MON≌△POQ，$

$所以MN=PQ.$

$设AM=AP=x\ \mathrm {m}，BN=BQ=ym.$

$因为AC=30m，BC=40m，$

$所以CM=AC-AM=(30-x)m，CN=BC-BN=(40-y)m.$

$因为∠ACB=90°，$

$所以AB=\sqrt{AC+BC²} =50m，$

$所以 MN=PQ=AP+BQ-AB=(x+y-50)m，$

$所以CM+CN+MN=20m.$

$故需要围挡20m.$