$解：设CD交x轴于点E，$
$过点D，C，A，B作x轴的垂线，$
$垂足分别为H，M，N，F，$
$则∠OFB=90°.$
$因为B(1， \sqrt{3} )，$
$所以 OF=1，BF= \sqrt{3} ，$
$所以OB= \sqrt{OF²+BFS} =2，$
$所以OF= \frac {1}{2}\ \mathrm {OB}，$
$所以∠OBF=30°，$
$所以∠BOF=90°-∠OBF=60°.$
$因为O是AB的中点，$
$所以A(-1，-\sqrt{3} )，AB=2OB=4.$
$因为四边形ABCD是菱形，$
$所以BC=AD=AB=4.$
$因为BC//x轴，$
$所以C(-3， \sqrt{3} )，D(-5，-\sqrt{3} ).$
$当圆P只与菱形ABCD的一边相切时，$
$分类讨论如下：$
$①当圆P只与边AB相切时，$
$因为圆P的半径为 \sqrt{3} ，$
$所以圆P在AB右侧，$
$设切点为Q，连接PQ，$
$则PQ⊥AB，$
$所以∠OQP=90°.$
$因为∠POQ=60°，$
$所以∠OPQ=90°-∠POQ=30°，$
$所以OQ= \frac {1}{2}OP，$
$所以PQ=\sqrt{OP²-OQ²}=\frac {3}{2}\ \mathrm {OP}.$
$又PQ=\sqrt{3} ，$
$所以 \frac {\sqrt{3}}{2}OP= \sqrt{3} ，$
$所以OP=2，$
$所以m=2.$
$②当⊙P只与边CD相切时，$
$同理可得PE=2.$
$因为OE=BC=4，$
$所以OP=OE+PE=6，$
$所以m=-6.$
$③当圆P只与边BC相切时，$
$点P在线段NF上(不含点N)，$
$所以-1\lt m≤1.$
$④当⊙P只与边AD相切时，$
$点P在线段HM上(不含点M)，$
$所以-5≤m\lt -3.$
$综上所述，m的取值范围为m=2或m=-6$
$或-1\lt m≤1或-5≤m\lt -3.$
