$解：(1) 在y=-\frac {1}{2} x²-\frac {3}{2} x+2中，$
$令x=2，得y=-3，$
$所以A(2，-3).$
$把点A(2，-3)，C(0，-3)分别代入y=x²+bx+c，得\begin{cases}4+2b+c=-3， \\c=-3，\end{cases}$
$解得b=-2，c=-3$
$所以抛物线L_1 的函数表达式为y=x²-2x-3.$
$(2) 设P(m，m²-2m-3)，Q(n， \frac {1}{2}\ \mathrm {n}²- \frac {3}{2}\ \mathrm {n}+2).$
$又A(2，-3)，C(0，-3)，$
$所以当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形恰为平行四边形时，$
$分类讨论如下：$
$①若AC为平行四边形的对角线，$
$则 \begin{cases}m+n=2， \\m²-2m-3+(-\frac {1}{2}n²-\dfrac {3}{2}n+2)=-3+(-3)\end{cases}$
$解得m=-3，n=5或m=0，n=2(不合题意，舍去)，$
$则m²-2m-3=12，$
$所以P(-3，12).$
$②若AP 为平 行 四 边 形 的 对 角 线， 则\begin{cases}m+2=n， \\m²-2m-3+(-3)=- \dfrac {1}{2}\ \mathrm {n}²-\dfrac {3}{2}\ \mathrm {n}+2+(-3)，\end{cases}$
$解得m=-1，n=1或m=0，n=2(不合题意，舍去)，$
$则m²-2m-3=0，$
$所以P(-1，0).$
$③若AQ为平行 四 边 形 的 对 角 线， 则\begin{cases}n+2=m， \\-\dfrac {1}{2}n²-\dfrac {3}{2}n+2+(-3)=m²-2m-3+(-3)，\end{cases}$
$解得m=3，n=1或m=-\frac {4}{3}，n=-\frac {10}{3}$
$当m=3时，m²-2m-3=0 当m=-\frac {4}{3} 时，m²-2m-3= \frac {13}{9} ，$
$所以P(3，0)或P(-\frac {4}{3}, \frac {13}{9} ).$
$综上所述，点P的坐标为(-3，12)或(-1，0)或((3，0)或(-\frac {4}{3} ，\frac {13}{9} )$（更多请点击查看作业精灵详解）
