$解： (1) 连接 A C$
$\because A B=B C=2, \angle B=60^{\circ}$
$\therefore \triangle A B C 是等 边三角形$
$\therefore A C=2, \angle A C B=60^{\circ}$
$\because A D=2 \sqrt{5}, C D=4$
$\therefore 易得 A C^{2}+C D^{2}=A D^{2}$
$\therefore \triangle A C D 是直角三角形, 且 \angle A C D=90^{\circ}$
$\therefore \angle B C D=\angle A C B+\angle A C D=150^{\circ}$
$(2)过点 A 作 A E \perp B C 于点 E$
$由 (1), 知 \triangle A B C 为等边三角形$
$\therefore B E=\frac{1}{2}\ \mathrm {B} C=1$
$\therefore 在 \mathrm{Rt} \triangle A B E 中, A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}= \sqrt{3}$
$\therefore S_{\text {四边形 }\ \mathrm {A} B C D}=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2}\ \mathrm {B} C \cdot A E+\frac{1}{2}\ \mathrm {A} C \cdot C D=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}+\frac{1}{2} \times 2 \times 4=\sqrt{3}+4$
