第36页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

$\sqrt{17}$

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$解:分三种情况讨论:$

$①如图①，$

$∵长方体的宽为10\ \mathrm {cm}，高为20\ \mathrm {cm},BC=5\ \mathrm {cm}，$

$∴BD=CD+BC=15\ \mathrm {cm},AD=20\ \mathrm {cm}.$

$在Rt△ABD中，由勾股定理，得$

$AB=\sqrt{BD²+AD²}=\sqrt{15²+20²}= 25(\ \mathrm {cm}).$

$②如图②，$

$∵长方体的宽为10\ \mathrm {cm}，高为20\ \mathrm {cm}，BC=5\ \mathrm {cm}，$

$∴BE=CE+BC=25\ \mathrm {cm},AE=10\ \mathrm {cm}$

$.在Rt△ABE中，由勾股定理，得$

$AB=\sqrt{BE²+AE²}=\sqrt{25²+10²}=5 \sqrt{29}(\ \mathrm {cm}).$

$③如图③，$

$∵长方体的宽为10\ \mathrm {cm}，高为20\ \mathrm {cm}，BC=5\ \mathrm {cm}，$

$∴AC=CF+AF=30\ \mathrm {cm}.$

$在Rt△ABC中，由勾股定理，得$

$AB=\sqrt{AC²+BC²}=\sqrt{30²+5²}=5 \sqrt{37}(\ \mathrm {cm}).$

$∵25＜5\sqrt{29}＜5\sqrt{37} $

$∴蚂蚁爬行的最短距离为25\ \mathrm {cm} $

$解:(1)∵BD=8,CD=x,$

$∴BC=BD-CD=8-x.$

$∵AB⊥BD,ED⊥BD,$

$∴∠B=∠D=90°$

$在Rt△ABC中，$

$∵AB=5，$

$∴由勾股定理，得AC= \sqrt{BC²+AB²}= \sqrt{(8-x)²+25}$

$在Rt△EDC 中，\ $

$∵ DE= 1，$

$∴ 由勾股定理，得 CE=\sqrt{CD²+DE²}= \sqrt{x²+1}$

$∴ AC+CE= \sqrt{(8-x)²+25}+\sqrt{x²+1}$

$解:(2)如图①，作点A关于l的对称点 A'，$

$过点A'作A'E⊥BC,交BC的延长线于点E，$

$过点A作AF⊥BC于点F, 连接 A'P,A'B,$

$则易得四边形ADCF，四边形DA'EC，$

$四边形AA'EF都是长方形， AD=A'D,PA'=PA .$

$∴PA +PB=PA'+PB≥A'B.$

$∴PA+PB的最小值为A'B的长$

$∵AD= 5\ \mathrm {\ \mathrm {km}},BC=7\ \mathrm {\ \mathrm {km}}, AB=7\ \mathrm {\ \mathrm {km}},$

$∴EC=A'D=AD=FC=5\ \mathrm {\ \mathrm {km}},\ $

$则BE=BC+CE=12\ \mathrm {\ \mathrm {km}},$

$BF=BC-FC=2\ \mathrm {\ \mathrm {km}}.$

$在Rt△ABF 中,$

$由勾股定理，得AF=\sqrt{AB²-BF²}$

$=\sqrt{7²-2²}= 3\sqrt{5}(\ \mathrm {\ \mathrm {km}})，$

$∴A'E=AF=3\sqrt{5}\ \mathrm {\ \mathrm {km}}.$

$在Rt△A'BE中,由勾股定理，得$

$A'B=\sqrt{A'E²+BE²}$

$= \sqrt{(3\sqrt{5})²+12²}=3\sqrt{21}(\ \mathrm {\ \mathrm {km}}),\ $

$∴PA+PB的最小值为3\sqrt{21}\ \mathrm {\ \mathrm {km}}$

$解:(3)构造图形如图②所示，$

$其中C为线段BD上一点，$

$分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,$

$连接AC,EC，$

$其中AB=6,DE=2,BD=6,CD=x,BC=6-x,$

$CE= \sqrt{CD²+DE²}=\sqrt{x²+4},$

$AC= \sqrt{BC²+AB²}=\sqrt{(6-x)²+36}.$

$连接AE，$

$∵ AC+CE≥AE,$

$∴代数式\sqrt{x²+4}+\sqrt{(6-x)²+36}(0≤x≤6)的最小值为AE的长.$

$过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.$

$易知EF=BD=6,BF=DE=2，$

$∴AF=AB+BF=8.$

$在Rt△AEF中,由勾股定理，得\ $

$AE=\sqrt{AF²+EF²}=\sqrt{8²+6²}=10，$

$∴ 代数式\sqrt{x²+4}+\sqrt{(6-x)²+36}(0≤x≤6)的最小值为10$