$解：【猜想运用】 \because x\gt 0， \therefore x+\frac{1}{x} \geqslant 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2 $
$当且仅 当 x=\frac{1}{x} ， 即 x=1 时， 等号成立$
$ \therefore 当 x 取 1 时， 函数 y 的值 最小， 最小值是 2 $
$【变式探究】 \because x\gt 3$
$ \therefore x-3\gt 0 $
$ \therefore y= \frac{1}{x-3}+x=\frac{1}{x-3}+(x-3)+3 \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{x-3} \cdot(x-3)}+3=5 $
$当且仅当 \frac{1}{x-3}=x-3 ， 即 x=4 时， 等号成立$
$ \therefore 当 x 取 4 时， 函数 y 的值最小，最小值是 5 $
$【拓展应用】设每间隔离房与 墙平行的边的长为 x \mathrm{m} ，\ $
$与墙垂直的边的长为 y \mathrm{m} $
$根据题意， 得 9 x+12 y=63 ， 即 3 x+4 y=21 $
$\because 3 x\gt 0，4 y\gt 0$
$ \therefore 3 x+ 4 y \geqslant 2 \sqrt{3 x \cdot 4 y} ， 即 21 \geqslant 2 \sqrt{12 x y}$
$ 化简， 得 x y \leqslant \frac{147}{16} ， 即 S \leqslant \frac{147}{16} $
$ 当且仅当 3 x=4 y ， 即 x=\frac{7}{2}， y=\frac{21}{8} 时， 等号成立$
$ \therefore 每 间隔离房的长为 \frac{7}{2} \mathrm{m} ， 宽为 \frac{21}{8} \mathrm{m} 时， 面积最大， 最大面积是 \frac{147}{16} \mathrm{m}^{2} $
