解：$(1)$只闭合开关$S_{2}$，移动滑动变阻器的滑片至最左端，$R_{1} $单独工作，此时电流表示数为$ 0.6\ \mathrm {A}$，则$ R$；的阻值$R_{1}=\frac {U}{I_{1}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=10\ \mathrm {Ω}.$
$(2) $只闭合开关$S_{2}$，移动滑动变阻器的滑片至最右端，$R_{1} $和变阻器的最大阻值串联，则电路中电流$I=\frac {U}{R_{2大}+R_{1}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{30\ \mathrm {Ω}+10\ \mathrm {Ω}}=0.15\ \mathrm {A}$，则通电$ 10\ \mathrm {s} $电流通过$R_{1}$所做的功$ W=I^2R_{1}t= (0$，$ 15\ \mathrm {A})^2×10 \ \mathrm {Ω}×10\ \mathrm {s}=2.25\ \mathrm {J}.$
$(3) $闭合$S_{1}$、$S_{3}$，断开$S_{2} $时，$R_{1}$和$R_{2}$并联，电流表测干路电流$.R_{2}$规格为$''30\ \mathrm {Ω} 1\ \mathrm {A}''$，则$R_{2} $支路的电流最大为$ 1\ \mathrm {A}$，$R_{1} $支路的电流为$ 0.6\ \mathrm {A}$，则干路电流最大为$ I_{大}=1\ \mathrm {A}+0.6\ \mathrm {A}=1.6\ \mathrm {A}$，则电路的最大电功率$ P_{大}=UI_{大}=6\ \mathrm {V}×1.6\ \mathrm {A}=9.6\ \mathrm {W}.$
