$证明:(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，$
$∴ BO=DO,AD∥BC.$
$∵E是CD的中点，$
$∴OE是△BCD的中位线.$
$∴OE//BC.$
$又∵EF//BD,$
$∴ 四边形OEFB是平行四边形$
$∵AD⊥BD,AD//BC,$
$∴ BC⊥BD.$
$∴∠CBD=90°.$
$∴ 四边形OEFB是矩形$
$(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AD=8,$
$∴BC=AD=8.\ $
$∵ OE 是△BCD 的中位线，$
$∴ OE=\frac{1}{2}\ \mathrm {BC}=4.$
$∵BD= \sqrt{DC²-BC²}= \sqrt{12²-8²}=4 \sqrt{5}，$
$∴OB=\frac{1}{2}\ \mathrm {BD}=2 \sqrt{5}.$
$∴矩形OEFB的面积=OB×OE=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$
