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解：​$(1)$​延长​$DB$​至点​$E$​，使​$BE=AB$​，延长​$DC$​至点​$F$​，
使​$CF=AC$​，连接​$AE$​，​$AF$​
∵​$AB+BD=AC+CD$​，∴​$DE=DF$​
又​$AD⊥BC$​，∴​$AD$​垂直平分​$EF$​，即​$AE=AF$​
∴​$△AEF $​是等腰三角形，即​$∠E=∠F$​
∵​$AB=BE$​，∴​$∠E=∠BAE$​
又​$∠ABC=∠E+∠BAE$​，∴​$∠ABC=2∠E$​
同理，得​$∠ACB=2∠F$​，∴​$∠ABC=∠ACB$​
∴​$AB=AC$​
​$(2)$​在​$DA $​的延长线上取点​$M$​，使​$AM=AB$​，在​$BC$​的
延长线上取点​$N$​，使​$CN=CD$​，连接​$BM$​，​$DN$​
则​$∠M=∠ABM$​，​$∠N=∠CDN$​
∵​$AB+AD=CD+CB$​
∴​$AM+AD=CN+CB$​，即​$DM=BN $​
又​$AD//BC$​
∴四边形​$MBND$​是平行四边形，即​$MB=ND$​，​$∠M=∠N$​
∴​$∠ABM=∠CDN$​
∴​$△ABM≌△CDN(\mathrm {ASA})$​
∴​$AM=CN$​
∴​$DM-AM=BN-CN$​，即​$AD=BC$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形


B
60°
PD+PE+PF=AB
解：​$(2)PD+PE+PF=AB$​，证明如下：
过点​$P{作}MN//BC$​，交​$AB$​于点​$M$​，交​$AC$​于点​$N$​
∵​$PE//AC$​，​$PF//AB$​
∴四边形​$AEPF $​是平行四边形，​$∠ANM=∠EPM$​
∴​$AE=PF$​
∵​$MN//BC$​，​$PF//AB$​
∴四边形​$ BDPM$​是平行四边形，​$∠ANM=∠C$​，
​$∠EMP=∠B$​，即​$MB=PD$​
∴​$∠EPM=∠ANM=∠C$​
又​$AB=AC$​，∴​$∠B=∠C$​
∴​$∠EMP=∠EPM$​，即​$PE=EM$​
∴​$PE+PF=EM+AE=AM$​
∴​$PD+PE+PF=MB+AM=AB$​，
即​$PD+PE+PF=AB$​
​$(3)$​过点​$P $​作​$MN//BC$​分别交​$AB$​，​$AC$​的延长线于​$M$​，​$N$​两点
∵​$PE//AC$​，​$PF//AB$​
∴​$∠EPM=∠ANM$​，四边形​$PEAF $​是平行四边形
∴​$PF=AE$​
∵​$AB=AC$​，∴​$∠ABC=∠ACB$​
∵​$MN//BC$​
∴​$∠ANM=∠ACB$​，​$∠ABC=∠AMN$​，
四边形​$BDPM$​是平行四边形
∴​$MB=PD$​
∴​$∠EPM=∠EMP$​，即​$PE=ME$​
∵​$AE+ME=AM$​
∴​$PE+PF=AM=AB+PD$​
又​$AB=6$​，​$PD=1$​
∴​$PE+PF=7$​
∴平行四边形​$PEAF $​的周长为​$2(PE+PF)=14$​
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