$(1)$证明：连接$DE$，$BF$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$OA=OC$，$OB=OD$
又$E$，$F $分别是$OA$，$OC$的中点
∴$OE=\frac {1}{2}OA$，$OF=\frac {1}{2}OC$，即$OE=OF$
∴四边形$DEBF $是平行四边形
∴$BE=DF$
$(2)$解：当$k=2$时，四边形$DEBF $是矩形，理由如下：
当四边形$DEBF $是矩形时，$BD=EF$
由$(1)$，得$OA=OC$，$OE=\frac {1}{2}OA$，$OF=\frac {1}{2}OC$
则$OA=2OE$，$OC=2OF$
∴$AC=OA+OC=2OE+2OF=2(OE+OF)=2EF$
∴$\frac {AC}{BD}=\frac {2EF}{EF}=2$
∵$\frac {AC}{BD}=k$
∴$k$的值为$2$，即当$k=2$时，四边形$DEBF $是矩形
