$(1)$证明：∵$AF=FG$，∴$∠FAG=∠FGA$
∵$AG $平分$∠CAB$，∴$∠CAG=∠FAG$
∴$∠CAG=∠FGA$，∴$AC//FG$
∴$∠EHG=∠AED$，$∠DHG=∠CEH$
∵$DE⊥AC$，∴$∠EHG = ∠DHG = ∠AED =∠CEH=90°$
∵$FG⊥BC$，∴$∠CGH=90°$
∴四边形$CEHG $是矩形
∴$∠C=∠DHG=90°$，$EC=GH$
连接$EF$
∵$F $是$AD$的中点，∴$EF=FD$
又$FG⊥DE$，∴$FG $垂直平分$DE$
∴$GE=DG$，∴$Rt△ECG≌Rt△GHD(\mathrm {HL})$
解：$(2)$过点$ G $作$GP⊥AB $于点$P$
由$(1)$得$ ∠C=90°$，$GE=DG$，∴$GC⊥AC$
∵$AG $平分$∠CAB$，∴$CG=PG$
∴$Rt△ECG≌Rt△DPG(\mathrm {HL})$，∴$EC=DP$
又$AG=AG$，∴$Rt△CAG≌Rt△PAG(\mathrm {HL})$
∴$AC=AP$，∴$AD=AP+DP=AC+EC$
$(3)$四边形$AEGF $是菱形，理由如下：
由$(1)$得四边形$ CEHG $是矩形，$AC//FG$
∴$EH//CG$，即$ ED//BC$，∴$∠ADE=∠B$
∵$∠B=30°$，∴$∠ADE=30°$，∴$AE=\frac {1}{2}AD$
∵$F $是$ AD $的中点，∴$AF=\frac {1}{2}AD$
又$AF=FG$，∴$AE=AF=FG$
∴四边形$AEGF $是菱形
