证明：$(1)$∵四边形$ABCD $是平行四边形
∴$AB//CD$，$AB=CD$
∴$∠ABD=∠CDB$，$∠BAE=∠DCF$
∵$BE$平分$∠ABD$，$DF $平分$∠CDB$
∴$∠ABE=\frac {1}{2}∠ABD$，$∠CDF=\frac {1}{2}∠CDB$
∴$∠ABE=∠CDF$
∴$△ABE≌△CDF(\mathrm {ASA})$
解：$(2)$∵四边形$ABCD $是平行四边形
∴$OB=OD$，$AB=CD$
∴$BD=2OB$
∵$BD=2AB$，∴$OB=AB=OD=CD$
∵$BE$平分$∠ABD$，$DF $平分$∠CDB$
∴$BE⊥AC$，$DF⊥AC$，$OE=AE$，$CF=OF.$
∴$BE//DF$，∴$EG//DF$
由$(1)$得$△ABE≌△CDF$，∴$BE=DF$
∵$BE=EG$，∴$EG=DF$
∴四边形$DGEF $是平行四边形
∴$EF=DG$
∵$AC=6$，∴$OC=AO=\frac {1}{2}AC=3$
∴$OF=\frac {1}{2}OC=\frac {3}{2}$，$OE=\frac {1}{2}AO=\frac {3}{2}$
∴$EF=OE+OF=3$
∵$DF=4$
∴四边形$ DGEF $的周长为
$2(DF+EF)=2×(4+3)=14$
