解：$(1)$∵反比例函数$y=\frac 2{x}$的图像和一次函数的图像交于$A$，$B$两点
点$A$的横坐标为$-1$，点$B$的纵坐标为$-1$
∴点$A$的坐标为$(-1$，$-2)$，点$B$的坐标为$(-2$，$-1)$
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$
则$\begin {cases}{-k+b=-2}\\{-2k+b=-1}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=-1}\\{b=-3}\end {cases}$
∴该一次函数的表达式为$y=-x-3$
$(2)$∵点$P(m$，$n)$与点$Q $关于$x$轴对称
∴点$Q $的坐标为$(m$，$-n)$
∵点$P(m$，$n)$在反比例函数$y= \frac {2}{x} $的图像上
∴$mn=2$
∵点$Q $在直线$AB$上
∴$-n=-m-3$，即$m-n=-3$
∴$(m-n)²=9$，即$m²+n²-2mn=9$
∴$m²+n²=9+2mn=13$
$(3) $如图，过点$M$作$MG⊥x$轴于点$G$，过点$N$作$NH⊥x$轴于点$H$
∵$M(x_1$，$y-1)$，$N(x_2$，$y_2)$是反比例函数$y= \frac {2}{x}$在第一象限图像上的两点
∴$S_{△MOG}=S_{△NOH}= \frac {1}{2} ×2=1$
∵$x_2-x_1=2$，$y_1+y_2=3$
∴$S_{△MON}=S_{梯形MNHG}+ S_{△MOG}-S_{△NOH}=S_{梯形MNHG}$
$=\frac {1}{2} (y_1+y_2)(x_2-x_1)= \frac {1}{2} ×3×2=3$
