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$(1)$证明：连接$MN$，$DE$

∵$M$，$N$分别是$OB$，$OC $的中点

∴$MN$是$△OBC$的中位线，即$MN//BC$，$MN=\frac {1}{2}BC$

∵$BD$，$CE$是$△ABC$的中线，∴$D$是$AC$的中点，$E$是$AB$的中点

同理，得$DE//BC$，$DE=\frac {1}{2}BC$

∴$DE//MN$，$DE=MN$

∴四边形$DEMN$是平行四边形，即$MD$和$NE$互相平分

$(2)$解：∵$BD⊥AC$，∴$∠BDC=90°$

在$ Rt△COD$中，$OC²=32$

由勾股定理，得$OD²+CD²=OC²$，∴$OD²+CD²=32$

∵$OD+CD=7$

∴$(OD+CD)²=49$，即$2OD · CD=(OD+CD)²-(OD²+CD²)=17$

由$(1)$，得$MD $和$NE$互相平分，∴$OM=OD$

∵$M$是$OB$的中点，∴$OB=2OM$，即$OB=2OD$

∴$△OBC$的面积为$\frac {1}{2}\ \mathrm {OB} · CD=\frac {1}{2}×2OD · CD=\frac {17}{2}$

$(1)$解：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC$，$∠BAD=∠C$，即$∠AFE=∠BGE$，$∠FAE=∠GBE$

∵$∠AFG=∠C$，∴$∠AFG=∠BAD$，即$AE=EF$

∵$E$是边$AB$的中点，∴$AE=BE$

∴$△AEF≌△BEG(\mathrm {AAS})$

∴$EF=EG$，即$AB$，$FG $互相平分，$BE=AE=FE=EG$

∴$AB=FG$，∴四边形$AGBF $是矩形

$(2)$证明：连接$BD$

∵$E$，$F $分别是$AB$，$AD$的中点

∴$EF $是$△ABD $的中位线，即$EF//BD$，∴$∠AFG=∠ADB$

∵$∠AFG=\frac {1}{2}∠ADC$

∴$∠ADB = \frac {1}{2} ∠ADC$，即$ ∠ADB=∠CDB$

由$(1)$，得$AD//BC$

∴$∠ADB=∠CBD$，即$∠CDB=∠CBD$

∴$CB=CD$，∴四边形$ABCD$是菱形

解：$(1)△A_{1}B_{1}C_{1}$如图所示

$(2)$如图，连接$BC_{1}$，$B_{1}C$

则以$B$，$C_{1}$，$B_{1}$，$C$四点为顶点的四边形的面积

为$10×8-2×\frac {1}{2}×2×4-2×\frac {1}{2}×4×8=40$

$(3)$点$E$如图所示，点$E$的坐标为$(6$，$6)$

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