证明：$(1)②$∵四边形$ABCD$是矩形
∴$OA=OD$，即$∠OAD=∠ODA$
∵$OE=OF$，$AD=DE$，∴$∠OEF =∠OFE$，$∠OEF=∠OAD$
∴$∠ODA = ∠OAD = ∠OEF = ∠OFE $
∵$∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°$，$∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°$
∴$∠AOD=∠EOF$，即$∠AOD+∠DOF=∠EOF+∠DOF$
∴$∠AOF = ∠DOE$，∴$△AOF ≌△DOE(\mathrm {SAS})$
∴$∠AFO=∠DEO$，即$∠AFO=∠OFE$
∴$OF $平分$∠AFE$
$(2)$取$DF $的中点$G$，连接$QG$，$CG$
∵四边形$ABCD$是矩形，∴$∠BCD=90°$，$O$是$BD$的中点
∴$CG=\frac {1}{2}\ \mathrm {DF}$，$OG $是$△BDF $的中位线
∴$OG//BF$，即$OG//BC$，∴$∠OGE=∠CFE$，$∠GOE=∠FCE$
∵$E$是$OC$的中点，∴$OE=CE$
∴$△OEG≌△CEF(\mathrm {AAS})$，∴$EG=EF$
∴四边形$OFCG $是平行四边形，∴$CG=OF$
∴$OF=\frac {1}{2}DF$，即$DF=2OF$
