解：$(1)$设$“G $图像$”$与$x$轴的交点为$C(a$，$0)$
则点$C$关于直线$y=-1$的对称点为$C'(a$，$-2)$
由题意，得点$C'$在反比例函数$y=\frac 1{x}$的图像上
∴$-2=\frac {1}{a}$，解得$a=-\frac {1}{2}$
∴$“G $图像$”$与$x$轴交点的横坐标为$-\frac {1}{2}$
$(2)①$∵$n=2$，$AN=2BN$，∴点$A$在第一象限，点$B$在第二象限
对于$y=\frac {1}{x}$，令$y=2$，得$2=\frac {1}{x}$，解得$x=\frac {1}{2}$
则点$A$的坐标为$(\frac {1}{2}$，$2)$
∴$AN=\frac {1}{2}$，∴$BN=\frac {1}{4}$
∴点$B$的坐标为$(-\frac {1}{4}$，$2)$
∵点$B$关于直线$y=m $的对称点为$(-\frac {1}{4}$，$2m-2)$
∴$2m-2=\frac 1{-\frac 14}$，解得$m=-1$，则$m $的值为$-1$
$ ②$对于$y=\frac {1}{x}$，令$y=n$，得$n=\frac {1}{x}$，解得$x=\frac {1}{n}$
分类讨论如下：当$n＞0$时，∵$AN=2BN$
∴点$A$在第一象限，点$B$在第二象限
∴$AN=\frac {1}{n}$，∴$BN=\frac {1}{2n}$
∴点$B$的坐标为$(-\frac {1}{2n}$，$n)$
∵点$B$关于直线$y=m $的对称点为$(-\frac {1}{2n}$，$2m-n)$
∴$2m-n=\frac 1{-\frac 1{2n}}$，即$m=-\frac {1}{2}n$
当$n＜0$时，$A$，$B$两点都在第三象限
∵$AN=2BN$，∴点$A$在点$B$的左侧
∴$AN=-\frac {1}{n}$，∴$BN=-\frac {1}{2n} $
∴点$B$的坐标为$(\frac {1}{2n}$，$n)$
∵点$B$关于直线$y=m $的对称点为$(\frac {1}{2n}$，$2m-n)$
∴$2m-n=\frac 1{\frac 1{2n}}$，即$m=\frac {3}{2}n$
综上，当$2n AN=2BN$时，$m $与$n$之间的数量关系为$m=-\frac {1}{2}n$或$m=\frac {3}{2}n$
