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解：$(1)$抛物线的顶点坐标为$(5，$$5)，$

与$y$轴交点坐标是$(0，$$1)，$

设抛物线的解析式是$y=a(x-5)^2+5，$

把$(0，$$1)$代入$y=a(x-5)^2+5，$

得$a=-\frac {4}{25}，$

$∴y=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5(0≤x≤10).$

$(2)$由已知得两景观灯的纵坐标都是$4，$

$∴4=-\frac {4}{25}(x-5)^2+5，$

$∴\frac {4}{25}(x-5)^2=1，$

$∴x_1=\frac {15}{2}，$$x_2=\frac {5}{2}，$

∴两景观灯间的距离为$\frac {15}{2}-\frac {5}{2}=5($米).

$解：(1)以O为原点，顶点为(1，2.25)，$

$设解析式为y=a(x-1)^2+2.25过点(0，1.25)，$

$解得a=-1，$

$所以解析式为：y=-(x-1)^2+2.25，$

$令y=0，$

$则-(x-1)^2+2.25=0，$

$解得x=2.5 或x=-0.5(舍去)，$

$所以花坛半径至少为2.5m.$

$(2)根据题意得出：$

$设y=-x^2+bx+c，$

$把点(0，1.25)，(3.5，0)代入，可得$

$∴\{ \begin{array}{l}{c=1.25}\\{-\frac {49}{4}+\frac {7}{2}b+c=0} \end{array} ，$

解得：

$\{ \begin{array}{l}{b=\frac {22}{7}}\\{c=\frac {5}{4}} \end{array} .$

$∴y=-{x}^2+\frac {22}{7}\frac {5}{4}=-{(x-\frac {11}{7})}^2+\frac {729}{196}，$

$∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达\frac {729}{196}米.$

$∵\frac {729}{196}≈3.7$

$∴最大高度为3.7米$