$解：(1)由二次函数图象的顶点为(1，3)，$
$可设二次函数解析式为y=a{(x-1)}^2+3，$
$将x=3，y=-1代入可得-1=a×{(3-1)}^2+3$
$解得a=-1，$
$所以二次函数解析式为：y=-{(x-1)}^2+3=-{x}^2+2x+2；$
$将x=3，y=-1代入一次函数解析式y=x+m可得:$
$-1=3+m$
$得到m=-4$
$所以一次函数解析式为：y=x-4$
$(2)联立两个解析式可得方程组:$
$\{\begin{array}{l}y=-{x}^2+2x+2\\y=x-4\end{array}.$
$则x-4=-{x}^2+2x+2$
$化简得：(x-3)(x+2)=0$
$∴{x}_1=3，{x}_2=-2$
$当{x}_1=3时，{y}_1=3-4=-1$
$当{x}_2=-2时，{y}_1=-2-4=-6$
$方程组的解为\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\{y}_1=-1\end{array}，\{\begin{array}{l}{x}_2=-2\\{y}_2=-6\end{array}.$
$所以另一个交点坐标为(-2，-6)$
