第47页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

2或8

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解：$(1)$当$∠C-∠B=90°$时，∵$∠C+∠B=180°-∠A=140°$

∴$∠B=25°$

当$∠C-∠A=90°$时，∵$∠C=90°+∠A=130°$

∴$∠B=180°-130°-40°=10°$

$ $故$∠B$的度数为$25°$或$10°$

$(2)$∵四边形$ABCD$是菱形

∴$∠DAC=∠BAC$，$AD//BC$，$AB=BC=AD$

∴$∠BAC=∠BCA$，$∠BAD+∠B=180°$

∴$2∠BAC+∠B=180°①$

∵$△ABC$正好为一个准直角三角形

∴$∠B-∠BAC=90°②$

由$①②$联立得$∠BAC=30°$，∴$∠BAD=60°$

如图，连接$BD$交$AC$于点$O$

∴$△ABD$是等边三角形，$AC⊥BD$，$AO=CO$，$BO=DO$

∴$BD=AB=5$，∴$BO=\frac {5}{2}$

∴$AO=\sqrt {AB^2-BO^2}=\frac 52\sqrt 3$，∴$AC=5\sqrt {3}$

∴菱形$ABCD$的面积$=\frac {1}{2}AC · BD=\frac {25}2\sqrt 3$

$(1)$证明：连接$BD$

∵四边形$ABCD$是菱形，∴$BD⊥AC$，$AB//CD$

∵$EF⊥AC$，∴$EF//BD$

∴四边形$EFDB$是平行四边形

∴$DF=EB$

∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=EB$，∴$AE=DF$

∵$AB//CD$，∴$∠EAM=∠ADF$

在$△AEM$和$△DFM$中

$\begin {cases}{∠EAM=∠FDM} \\{∠AME=∠DMF}\\{AE=DF}\end {cases}$

∴$△AEM≌△DFM(\mathrm {AAS})$，∴$AM=DM$

$(2)$解：由$(1)$知$△AEM≌△DFM$，∴$AE=DF=3$

∵$E$为$AB$的中点，∴$AB=2AE=6$

∴菱形$ABCD$的周长为$6×4=24$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是菱形，∴$AB//CD$，$AC⊥BD$

∴$AE//CD$，$∠AOB=90°$

∵$DE⊥BD$，即$∠EDB=90°$

∴$∠AOB=∠EDB$，∴$DE//AC$

∴四边形$ACDE$是平行四边形

$(2)$解：①∵四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$

∴$AO=4$，$DO=3$，∴$AD=CD=5$

∵四边形$ACDE$是平行四边形

∴$AE=CD=5$，$DE=AC=8$

∴$△ADE$的周长为$AD+AE+DE=5+5+8=18$

$②$当$DE=PE$时，$PE=DE=AC=8$

当$PD=PE$时，点$P $与点$A$重合，$PE=5$

当$DE=PD$时，$PE= \frac {64}{5} $

综上所述，线段$PE$的长为$8$或$5$或$ \frac {64}{5}$