$(1)$证明：作$BG⊥AE$于点$G$，设$CE$交$BM$于点$N$
∵点$E$、$C$关于$BM$对称，∴$BC=BE$，$FE=FC$
∴$BM$垂直平分$CE$，∴$∠BNE=90°$，$∠3=∠4$
∵在菱形$ABCD$中，$AB=BC$，$∠BAD=60°$
∴$AB=BE$，$∠ABC=120°$
又∵$BG⊥AE$，∴$∠1=∠2$，$∠BGE=90°$
∴$∠2+∠3=\frac {1}{2}∠ABC=60°$
∴四边形$BNEG_{中}$，$∠NEG=360°-90°-90°-60°=120°$
∴$∠CEF=60°$
又∵$FE=FC$，∴$△EFC$是等边三角形
$(2)$解：由$(1)$知$AB=BE$
∴当$∠BAE=45°$时，$∠AEB=45°$，$∠ABE=90°$
∴$△ABE$是等腰直角三角形
又∵$BG⊥AE$，∴$AG=EG=BG=\frac {1}{2}AE=\frac {5}{2}$
由$(1)$可得，$∠BFG=30°$
∴在$Rt△BFG_{中}$，$BF=2BG=5$
