第49页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：如图，连接$AC$

∵四边形$ABCD$是菱形

∴$∠B=∠D=60°$，$AB=BC=CD=AD$

∴$△ABC$，$△ACD$都是等边三角形

∴$AB=AC$，$∠BAC=60°$

∴$∠BAM=∠CAN$，∴$△BAM≌△CAN(\mathrm {ASA})$

∴$AM=AN$

∵$∠MAN=60°$，∴$△AMN$是等边三角形

$(2)$解：$△CMN$的面积存在最大值，理由如下：

∵$△BAM≌△CAN$，∴$S_{△BAM}=S_{△CAN}$

∴四边形$AMCN$的面积$=S_{△ACD}=\frac {1}{2}×2×\sqrt {3}=\sqrt 3$

∴四边形$AMCN$的面积不发生变化$ $

∴当$△AMN$的面积最小时，$△MCN$的面积最大

∵$△AMN$是等边三角形，根据垂线段最短可知

当$AM⊥BC$时，$AM$的值最小，$△AMN$的面积最小

此时$△AMN$的面积$=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}× \sqrt {3}=\frac {3\sqrt 3}{4}$

∴$△CMN$的面积的最大值$=\sqrt 3-\frac {3\sqrt {3}}{4}=\frac {\sqrt {3}}{4}$

解：$(1)$如图所示

$(2)$连接$PA$、$PC$、$PB$，延长$CB$交$OD$于点$P'$，连接$AP'$

∵四边形$OABC$是菱形，$∠OCB=60°$

∴$AO=AB=OC=BC$，$∠OAB=∠OCB=60°$

∴$△OAB$、$△OBC$都是等边三角形

∴$OA=OB$

∵$OD$平分$∠AOB$，∴$OD⊥AB$，$AD=DB$

∴$PA=PB$，∴$PC-PA=PC-PB≤BC$

∴当点$P $与点$P'$重合时，$|PC-PA|$取最大值

∵$∠COB=60°$，$∠DOB=30°$，∴$∠COP'=90°$

∵$OC=OB=6$，$∠OCP'=60°$

∴$CP'=12$，$OP'=6 \sqrt {3}$

∴当$|PC-PA|$取最大值时，$OP $的长为$6 \sqrt {3}$

$(3)$∵$∠EBF=∠OBC=60°$，∴$∠OBE=∠CBF$

∵$∠BOE=∠C=60°$，$BO=BC$

∴$△BOE≌△BCF(\mathrm {ASA})$

∴$OE=CF$，$BE=BF$

∴$OE+OF=CF+FO=OC=6$

∴$BE+BF $的值最小时，四边形$OEBF $的周长最小

根据垂线段最短可知，当$BE⊥OA$，$BF⊥OC$时，

$BE+BF $的值最小，为$6\sqrt {3}$，此时满足$∠EBF=60°$

∴四边形$OEBF $周长的最小值为$6+6\sqrt {3}$