第51页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

D

AB⊥BC

$1+ \sqrt {2}$

证明：$(1)$连接$BD$，交$AC$于点$O$，如图

∵四边形$ABCD$是平行四边形，∴$OB=OD$

∵$BM//DN$，∴$∠MBO=∠NDO$

又∵$∠BOM=∠DON$

∴$△BOM≌△DON(\mathrm {ASA})$，∴$BM=DN$

∴四边形$BMDN$为平行四边形

∴$BN//DM$，∴$∠DMN=∠BNM$

$(2)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$BC//AD$，∴$∠BCA=∠DAC$

∵$∠BAC=∠DAC$，∴$∠BAC=∠BCA$

∴$AB=BC$，∴平行四边形$ABCD$是菱形

∴$AC⊥BD$，∴$MN⊥BD$

∴平行四边形$BMDN$是菱形

$(1)$证明：由折叠性质得$BF=DF$，$BG=DG$，$∠BFG=∠DFG$

∵四边形$ABCD$是矩形，∴$AD=BC=8$，$AD//BC$

∴$∠DFG=∠BGF$，∴$∠BFG=∠BGF$，∴$BF=BG$

∴$BF=DF=BG=DG$，∴四边形$BGDF $是菱形

$(2)$解：如图，过点$F $作$FM⊥BC$于点$M$，则$∠FMC= ∠FMB=90°$

∵四边形$ABCD$是矩形，∴$∠A=∠ABM=90°$

∴四边形$ABMF $是矩形，∴$AB=FM=6$，$AF=BM$

设$AF=x$，则$BF=DF=8-x$

在$Rt△BAF $中，由勾股定理，得$AB^2+AF^2=BF^2$

即$6²+x²=(8-x)²$，解得$x=\frac {7}{4}$

即$AF=\frac {7}{4}$，$BG=DF=8-x=\frac {25}{4}$

∴$MG=BG-BM=\frac {25}{4}-\frac {7}{4}=\frac {9}{2}$

在$Rt△FMG $中，$FG=\sqrt {FM^2+MG^2}=\sqrt {6²+(\frac {9}{2})^2}=\frac {15}{2}$

$(1)$证明：∵$AE$平分$∠CAB$，∴$∠CAE=∠BAE$

∵$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$

∴$∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AGD=90°$

∴$∠CEA=∠AGD$

又∵$∠CGE=∠AGD$

∴$∠CEA=∠CGE$，∴$CG=CE$

$(2)$解：四边形$CGFE$是菱形，理由如下：

∵$GF//BC$，∴$∠CEG=∠EGF$

由$(1)$知$∠CEA=∠CGE$

∴$∠CGE=∠EGF$，∴$∠AGC=∠AGF$

又∵$AG=AG$，$∠CAE=∠BAE$

∴$△AGC≌△AGF(\mathrm {ASA})$，∴$CG=FG$

由$(1)$知$CG=CE$，∴$CE=FG$

又∵$GF//BC$，∴$CE//FG$

∴四边形$CGFE$是平行四边形$ $

又∵$CG=CE$，∴四边形$CGFE$是菱形

$(3)$解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$

∴$AB=\sqrt {AC²+BC²}=5$

由$(2)$知$△AGC≌△AGF$

∴$AF=AC=3$，∴$BF=AB-AF=2$

∵四边形$CGFE$是菱形，∴$EF//CG$

∵$CD⊥AB$，∴$EF⊥AB$

$ $设$CE=EF=CG=GF=x$，则$BE=BC-CE=4-x$

$ $在$Rt△EFB$中，$EF^2+BF^2=BE^2$

即$x^2+2^2=(4-x)^2$，解得$x=\frac {3}{2}$

∴$CG=\frac {3}{2}$

∵$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AC · BC=\frac {1}{2}AB · CD$

∴$CD=\frac {AC · BC}{AB}=\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}$

∴$GD=CD-CG=\frac {12}{5}-\frac {3}{2}=\frac {9}{10}$