第53页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：在正方形$ABCD$中，$AD⊥CD$，$GE⊥CD$

∴$∠ADE=∠GEC=90°$

∴$AD//GE$，∴$∠DAG=∠EGH$

$(2)$解：$AH⊥EF$

理由：连接$GC$交$EF $于点$O$

∵$BD$为正方形$ABCD$的对角线，∴$∠ADG=∠CDG=45°$

又∵$DG=DG$，$AD=CD$

∴$△ADG≌△CDG(\mathrm {SAS})$，∴$∠DAG=∠DCG$

在正方形$ABCD$中，$∠ECF=90°$

又∵$GE⊥CD$，$GF⊥BC$，∴四边形$FCEG $为矩形

∴$OE=OC$，∴$∠OEC=∠OCE$

∴$∠DAG=∠OEC$

由$(1)$得$∠DAG=∠EGH$，∴$∠EGH=∠OEC$

∴$∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°$

∴$∠GHE=90°$，∴$AH⊥EF$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC$，$∠ABE=∠BCF=90°$

∴$∠BAE+∠AEB=90°$

∵$BH⊥AE$，∴$∠AEB+∠EBH=90°$

∴$∠BAE=∠EBH$

在$△ABE$和$△BCF{中}$

$\begin {cases}{∠BAE=∠CBF} {AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\end {cases}$

∴$△ABE≌△BCF(\mathrm {ASA})$，∴$AE=BF$

$(2)$解：由$(1)$得$△ABE≌△BCF$，∴$BE=CF$

∵正方形$ABCD$的边长是$5$，$BE=2$

∴$DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3$

在$Rt△ADF{中}$，$AF= \sqrt {AD^2+DF^2}=\sqrt {5^2+3^2}= \sqrt {34}$

解：$(1)$四边形$ADBE$是矩形

理由：∵$BE$、$BD$分别是$△ABC$中$∠ABC$的内、外角平分线

∴$∠DBE=\frac {1}{2}×180°=90°$

∵$AD⊥BD$，$AE⊥BE$，∴$∠ADB=∠AEB=90°$

∴四边形$ADBE$是矩形

$(2)DE=BF$

理由：在$△ABE$和$△FBE$中

$\begin {cases}{∠ABE=∠FBE} \\{BE=BE}\\{∠BEA=∠BEF}\end {cases}$

∴$△ABE≌△FBE(\mathrm {ASA})$，∴$AB=BF$

由$(1)$知四边形$ADBE$是矩形

∴$DE=AB$，∴$DE=BF$

$(3)$当$△ABC$为等腰直角三角形且$∠ABC=90°$时，

四边形$ADBE$是正方形

理由：∵$△ABC$是等腰直角三角形且$∠ABC=90°$

∴$AE=BE=\frac {1}{2}AF$

∴矩形$ADBE$是正方形