第54页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

2

C

$\frac {5}{2}$

$(1)$证明：∵$E$为$BC$的中点，∴$BE=EC$

由折叠的性质得$B'E=BE$，$∠BEA=∠B'EA$

∴$B'E=EC$，∴$∠EB'C=∠B'CE$

∵$∠BEB'=∠EB'C+∠B'CE$

∴$∠BEA=∠B'CE$，∴$AE//B'C$

$(2)$解：连接$BB'$，交$AE$于$AD$点$H$，如图

∵$BC=6$，$E$为$BC$的中点，∴$BE=3$

又∵$AB=4$，∴$AE=\sqrt {AB²+BE^2}= \sqrt {4²+3²}=5$

∵$S_{△ABE}=\frac {1}{2}AB · BE=\frac {1}{2}AE · BH$

∴$BH=\frac {AB · BE}{AE}=\frac {4×3}{5}=\frac {12}{5}$，则$BB'=\frac {24}{5}$

∵$B'E=BE=EC$

∴$∠EBB'=∠EE'B$，$∠EB'C=∠ECB'$

∵$∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°$

∴$∠EB'B+∠EB'C=90°$，∴$∠BB'C=90°$

∴$B'C=\sqrt {BC²-B'B²}= \sqrt {6²-(\frac {24}{5})^2}=\frac {18}{5}$

3

解：$(2)$如图$①$，当点$M$在线段$AB$上时

∵四边形$ABCD$是矩形

∴$AB//CD$，$∠ABC=90°$

∴$∠CDM=∠AMD$

根据折叠的性质，得$∠AMD=∠A'MD$

∴$∠CDM=∠CMD$，∴$CD=CM=5$

∵$∠CBM=90°$

∴$BM=\sqrt {CM^2-BC^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3$

∴$AM=AB-BM=5-3=2$

如图②，当点$M$在$AB$的延长线上时

同法可证$CD=CM=5$

∵$∠CBM=90°$，$CB=4$

∴$BM=\sqrt {CM^2-BC^2}= \sqrt {5^2-4^2}=3$

∴$AM=AB+BM=5+3=8$

综上所述，$AM$的长为$2$或$8$