$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形
∴$AB=AD=DC=BC=6$，$∠B=∠BCD=∠D=90°$
∵$△ADE$沿$AE$对折至$△AFE$
∴$△ADE≌△AFE$
∴$AD=AF$，$∠D=∠AFE=90°$
∴$AB=AF$，$∠B=∠AFG=90°$
∵$AG=AG$，∴$Rt△ABG≌Rt△AFG≌△CHL)$
解：$(2)$∵$CD=3DE$
∴$DE=\frac {1}{3}DC=2$，$EC=\frac {2}{3}DC=4$
∵$△ADE≌△AFE$，∴$DE=EF=2$
$ $设$BG=x$，则$CG=BC-BG=6-x$
∵$Rt△ABG≌Rt△AFG$
∴$BG=FG=x$，$∠BGA=∠FGA$
∴$EG=EF+GF=2+x$
∵$∠ECG=90°$
∴$(6-x)²+4²=(2+x)²$，解得$x=3$
∴$BG=FG=CG=3$
∴$S_{△CEG}=\frac {1}{2}CE · CG=\frac {1}{2}×4×3=6$
∵$FG=3$，$EG=GF+EF=5$
∴$\frac {S_{△PGC}}{S_{△CEG}}=\frac {FG}{EG}=\frac {3}{5}$，即$\frac {S_{△PGC}}6=\frac {3}{5}$
解得$S_{△PGC}=\frac {18}5$
$(3)$∵$△ADE$沿$AE$对折至$△AFE$
∴$△ADE≌△AFE$，∴$DE=EF$
∴$C_{△CEF}=CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=6+CF$
∴当$CF $最小时，$△CEF $的周长最小
如图，当点$A$，$F$，$C$三点共线时，$CF $最小
根据勾股定理，得$AC=\sqrt {AB²+BC²}=6\sqrt {2}$
∴$CF=AC-AF=6\sqrt {2}-6$
∴$△CEF $的周长最小值$=6+CF=6+6\sqrt {2}-6=6\sqrt {2}$
