第56页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

∠B=∠C=45°

解：$(1)AD=\frac {1}{3}BC$

理由：∵$AD//BC$，$DE//AB$，$AF//DC$，$AE//DF$

∴四边形$ABED$，四边形$AFCD$，四边形$AEFD$是平行四边形

∴$AD=BE=EF=CF$

∴$AD=\frac {1}{3}BC$

$(2)$当四边形$ABCD$满足条件$AB=CD$时，四边形$AEFD$是矩形$ $

理由：∵$AB=CD$，四边形$ABED$，四边形$AFCD$是平行四边形

∴$AB=DE$，$AF=CD$，∴$DE=AF$

由$(1)$知四边形$AEFD$是平行四边形

∴四边形$AEFD$是矩形

解：$(1)$四边形$ADEF $是平行四边形

理由：∵$△BCE$和$△ABD$均为等边三角形

∴$BE=BC$，$BD=BA$，$∠ABD=60°$，$∠CBE=60°$

又∵$∠DBE=60°-∠ABE$，$∠ABC=60°-∠ABE$

∴$∠DBE=∠ABC$

在$△BDE$和$△BAC$中

$\begin {cases}{BE=BC}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BD=BA}\end {cases}$

∴$△BDE≌△BAC(\mathrm {SAS})$，∴$DE=AC$

∵在等边$△ACF_{中}$，$AC=AF$，∴$DE=AF$

同理可得$DA=EF$，∴四边形$ADEF $是平行四边形

$(2)$当$∠BAC=150°$时，四边形$ADEF $是矩形

理由：∵$∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°$

∴$▱ADEF $是矩形

$(3)$当$AB=AC$时，四边形$ADEF $是菱形

理由：∵$AB=AC$，∴$AD=AF$

∴$▱ADEF $是菱形

$(4)$当$∠BAC=150°$且$AB=AC$或$∠ABC=∠ACB=15° $时

四边形$ADEF $是正方形

$(5)$当$∠BAC=60°$时，以$A$、$D$、$E$、$F $为顶点的四边形不存在

$(1)$证明：∵$AB//CD$，∴$∠CDF=∠FEB$，$∠DCF=∠EBF$

∵$F $是$BC$的中点，∴$BF=CF$

在$△DCF $和$△EBF_{中}$

$\begin {cases}{∠CDF=∠BEF}\\{∠DCF=∠EBF}\\{FC=FB}\end {cases}$

∴$△DCF≌△EBF(\mathrm {AAS})$，∴$DC=BE$

又∵$DC//BE$，∴四边形$BECD$是平行四边形

$(2)$解：$①BE=2$

理由：当四边形$BECD$是矩形时，$∠CEB=90°$

∵$∠ABC=120°$，∴$∠CBE=60°$

∴$∠ECB=30°$，∴$BE=\frac {1}{2}BC=2$

$②BE=4$

理由：当四边形$BECD$是菱形时，$BE=EC$

∵$∠ABC=120°$，∴$∠CBE=60°$

∴$△CBE$是等边三角形，∴$BE=BC=4$