解：$(2)$如图$①$，连接$GH$，$AC=\sqrt {AB²+BC²}=10$
$ $由$(1)$得$AG=BH$，$AG//BH$，$∠B=90°$
∴四边形$ABHG $是矩形，∴$GH=AB=6$
①如图①，当四边形$EGFH$是矩形且点$E$在点$F $左侧时
∴$EF=GH=6$
∵$AE=CF=t$，∴$EF=10-2t=6$，∴$t=2$
②如图②，当四边形$EGFH$是矩形且点$E$在点$F $右侧时
∵$EF=GH=6$，$AE=CF=t$
∴$EF=t+t-10=2t-10=6$，∴$t=8$
综上，当四边形$EGFH$为矩形时，$t=2$或$t=8$
$(3)$如图$③$，$M$为$AD$的中点，连接$AH$，$CG$，$GH$，$AC$与$ GH$交于点$O$
∵四边形$EGFH$为菱形
∴$GH⊥EF$，$OG=OH$，$OE=OF$
∴$OA=OC$，$AG=AH$，∴四边形$AGCH$为菱形
∴$AG=CG$
设$AG=CG=x$，则$DG=8-x$
$ $由勾股定理可得$CD^2+DG^2=CG^2$
即$6²+(8-x)²=x²$，解得$x=\frac {25}{4}$
∴$MG=\frac {25}{4}-4=\frac {9}{4}$，即$t=\frac {9}{4}$
∴$t $的值为$\frac {9}{4}$
