第63页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：∵$DE$和$AF $分别是$△ABC$的中位线和中线

∴$AD=\frac {1}{2}AB$，$EF $是$△ABC$的中位线

∴$EF//AB$，$EF=\frac {1}{2}AB$

∴$EF=AD$

∴四边形$ADFE$是平行四边形

∴$AF $与$DE$互相平分

$(2)$解：当$AF=\frac {1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形

理由：∵线段$DE$为$△ABC$的中位线，∴$DE=\frac {1}{2}BC$

∵$AF=\frac {1}{2}BC$，∴$AF=DE$

由$(1)$得，四边形$ADFE$是平行四边形

∴四边形$ADFE$为矩形

$(1)$证明：∵$∠ADE=∠ABC$

∴$DE//BC$，∴$∠AED=∠ACB$

又∵$∠EDF=∠ACB$

∴$∠AED=∠EDF$，∴$DF//AC$

$(2)$解：∵$D$，$E$，$F $分别是$AB$，$AC$，$BE$的中点

∴$DF $是$△ABE$的中位线

∴$DF//AE$，且$DF=\frac {1}{2}AE$

设$S_{△DEF}=x$

∵$E$是$AC$的中点，∴$S_{△ADE}=S_{△CEF}=2x$

∵$F $是$BE$的中点

∴$S_{△BDF}=S_{△DEF}=x$，$S_{△BCF}=S_{△CEF}=2x$

∴$S _{四边形CEDF}=3x$

∵$S_{ 四边形CEDF}=9$，∴$3x=9$，∴$x=3$

∴$S_{△ABC}=8×3=24$

证明：连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$

∵$E$、$F $分别是$BC$、$AD$的中点

∴$FH//BM$，$FH=\frac {1}{2}AB$，$EH//CN$，$EH=\frac {1}{2}CD$

∴$∠BME=∠HFE$，$∠CNE=∠HEF$

∵$AB=CD$，∴$FH=EH$

∴$∠HFE=∠HEF$，∴$∠BME=∠CNE$