第64页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：∵$E$是$AD$的中点，∴$AE=DE$

∵$AF//BC$，∴$∠AFE=∠DBE$

在$△AFE$和$△DBE$中

$\begin {cases}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end {cases}$

∴$△AFE≌△DBE(\mathrm {AAS})$，∴$AF=DB$

∵$AD$是$BC$边上的中线，∴$DC=DB$，∴$AF=DC$

$(2)$解：四边形$ADCF $是矩形

证明：连接$DF$

由$(1)$得$AF=DB$，$AF//DB$

∴四边形$ABDF $是平行四边形，∴$AB=DF$

∵$AB=AC$，∴$AC=DF$

$ $由$(1)$得$AF=DC$，$AF//DC$

∴四边形$ADCF $是平行四边形

∴四边形$ADCF $是矩形

$(1)$证明：∵$AE$平分$∠CAB$，∴$∠CAE=∠BAE$

∵$CE⊥AE$，∴$∠AEC=∠AED=90°$

在$△AEC$和$△AED$中

$\begin {cases}{∠CAE=∠DAE}\\{AE=AE}\\{∠AEC=∠AED}\end {cases}$

∴$△AEC≌△AED(\mathrm {ASA})$，∴$CE=DE$

$(2)$解：在$Rt△BC$中，∵$AC=6$，$BC=8$

∴$AB=\sqrt {AC²+BC²}= \sqrt {6²+8²}=10$

∵$△AEC≌△AED$，∴$AD=AC=6$，∴$BD=AB-AD=4$

∵$E$为$CD$的中点，$F $为$BC$的中点，∴$EF=\frac {1}{2}BD=2$

证明：取$DC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$

∵$M$，$H$分别是$AD$，$DC$的中点

∴$MH$是$△ADC$的中位线， ∴$MH//AC$且$MH=\frac {1}{2}AC$

$ $同理可得$NH//BD$且$NH=\frac {1}{2}BD $

∵$EF=EG$，∴$∠EFG=∠EGF$

∵$MH//AC$，$NH∥BD$， ∴$∠EFG=∠HMN$，$∠EGF=∠HNM$

∴$∠HMN=∠HNM$， ∴$MH=NH$，∴$AC=BD$