第65页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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解：延长$CF_{交}AB$于点$G$

∵$AE$平分$∠BAC$，∴$∠GAF=∠CAF$

∵$CF⊥AE$，∴$∠AFG=∠AFC=90°$

又∵$AF=AF$，∴$△AFG≌△AFC(\mathrm {ASA})$

∴$AG=AC$，$GF=CF$

又∵$D$是$BC$的中点

∴$DF $是$△CBG $的中位线

∴$DF=\frac {1}{2}BG=\frac {1}{2}(AB-AG )=\frac {1}{2}(AB-AC)=2$

解：∵$E$，$M$分别是$AD$，$AC$的中点

∴$EM$是$△ADC$的中位线， ∴$EM=\frac {1}{2}CD=4$，$EM//CD$

∴$∠EMC+∠ACD=180°$

∵$∠ACD=120°$，∴$∠EMC=60°$

同理可得$MF=\frac {1}{2}AB=3$，$MF//AB$

∴$∠CMF=∠BAC=30°$，∴$∠EMF=90°$

∴$EF=\sqrt {EM²+MF²}= \sqrt {4²+3²}=5$

解：$(1)$四边形$PQMN$为菱形

证明如下：连接$BD$、$AC$交于点$O$

∵$△ADE$、$△ECB$是等边三角形

∴$AE=DE$，$EC=BE$，$∠AED=∠BEC=60°$

∴$∠AEC=∠DEB=120°$

在$△AEC$和$△DEB$中

$\begin {cases}{AE=DE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{EC=EB}\end {cases}$

∴$△AEC≌△DEB(\mathrm {SAS})$，∴$AC=BD$

∵$M$、$N$分别是$CD$、$AD$的中点

∴$MN$是$△ACD$的中位线，即$MN=\frac {1}{2}AC$

同理可得$NP=\frac {1}{2}\ \mathrm {DB}$，$QP=\frac {1}{2}AC$，$MQ=\frac {1}{2}BD$

∴$MN=NP=PQ=MQ$

∴四边形$PQMN$是菱形

$(2)$设$MN$交$BD$于点$K$，$MQ_{交}AC$于点$J$

∵$MN//AC$，$MQ//BD$

∴四边形$MKOJ$是平行四边形

∴$∠NMQ=∠DOC$

∵由$(1)$知$△AEC≌△DEB$，∴$∠ACE=∠DBE$

∴$∠COB=∠CEB=60°$，∴$∠DOC=120°$

∴$∠NMQ=120°$