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$解：由矩形OABC，PQ⊥BP$

$可得∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA$

$∴△QOP∽△PAB$

$∴\frac {OQ}{OP}=\frac {PA}{AB}，即\frac {OQ}{OP}=\frac {a-OP}b$

$得OQ=-\frac {OP^2}b+\frac {a}bOP=-\frac 1{b}(OP-\frac a{2})^2+\frac {a^2}{4b}$

$∴当OP=\frac a{2}时，OQ长度最大，最大长度是\frac {a^2}{4b}$

$解：△AOD∽△FCD$

$延长AO交\odot O于点G，连接CG$

$则∠G=∠B$

$∵AG是直径$

$∴∠ACG=90°$

$∴∠GAC=90°-∠G$

$∵OE⊥AB$

$∴∠F=90°-∠B$

$∴∠GAC=∠F$

$又∠ODA=∠CDF$

$∴△AOD∽△FCD$