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$证明: ∵ 四边形 A B C D 是平行四边形,$

$∴D C / / A B， D C=A B， $

$∵F C=A E， $

$∴C D-F C=A B-A E，$

$\text { 即 } D F=B E \text { ， }$

$ ∴ 四边形 D E B F 是平行四边形,$

$\text { 又 } ∵D E \perp A B， $

$∴∠D E B=90°，$

$ ∴ 平行四边形 D E B F 是矩形.$

$证明：(1) ∵A F / / B C ，$

$ ∴∠{AFE}=∠{DCE}， ∠{FAE}=∠{CDE} ，$

$又： E 为 A D 的中点,$

$ ∴{AE}={DE} ，$

$ ∴\triangle {AEF} \cong \triangle {DEC}({AAS}) ，$

$ ∴{AF}={DC} ，$

$又 ∵D 为 B C 的中点,$

$ ∴{BD}={CD} ，$

$ ∴A F=B D ；$

$(2) ∵A F=B D， A F / / B D ，$

$ ∴ 四边形 A D B F 是平行四边形,$

$ ∵A B=A C， D 为 B C 的中点,$

$ ∴A D \perp B C ，$

$ ∴∠{ADB}=90° ，$

$ ∴ 四边形ADBF是矩形.$

$解:四边形ABCD是菱形$

$所以AB=BC=AD= CD，∠B+∠BAD=180°$

$因为∠B与 ∠BAD的度数之比为1 ： 2$

$所以∠BAD=2∠B$

$因为∠B+∠BAD=180° $

$所以∠B=60°$

$因为AB=BC$

$所以△ABC是等边三角形$

$所以AC=AB$

$因为菱形的周长为20\ \mathrm {cm}$

$所以AC=AB=20÷4=5\ \mathrm {cm}$

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