$证明： (1)因为四边形ABCD是矩形$
$所以AD//BC$
$所以∠DEC=∠ECB$
$因为△CDE折叠得到△CFE$
$所以∠FEC=∠DEC$
$所以∠FEC=∠ECB$
$所以△BEC是等腰三角形$
$(2)因为AB=2，∠ABE=45°$
$所以BE= 2\sqrt {2}$
$所以BC= BE= 2\sqrt {2}$
$所以S_{矩形}ABCD= AB×BC= 4\sqrt {2}$
