$(1)证明：∵整个图形的面积可以表示为\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2，$
$整个图形的面积也可以表示为\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2，$
$∴\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2，$
$即(a+b)^2=2ab+c^2$
$整理，得a^2+b^2=c^2$
$(2)解：不存在，理由：$
$假设存在，且它的斜边c与另一条直角边b都增加x(x≠0)，$
$则a²+(b+x)²=(c+x)²，即a²+b²+2bx+x²=c²+2cx+x².$
$∵a²+b²=c²，$
$∴2bx=2cx.$
$∵x≠0,$
$∴b=c，这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾，$
$∴假设不成立,$
$∴不存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，$
$它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形$
$仍是一个直角三角形.$
