$解：(2)①∵\frac {1}{4}×2(m+7+m+1)=m+4$
$∴该正方形的边长为m+4$
$②{S}_3与{S}_1的差是常数{S}_3-{S}_1=(m+4)²-(m+1)(m+7)=m²+8m+16- (m²+ 8m +7)=9$
$∴{S}_3与{S}_1的差是一个常数，这个常数是9\ $
$(3) 由题意，得$
${S}_1=(m+1)(m+7)=m²+ 8m+7{S}_2= (m+2)(m+4)=m²+6m+8|{S}_1-{S}_2|=|2m-1|$
$∵m为正整数$
$∴2m-1\gt 0$
$∴|{S}_1-{S}_2|=2m-1$
$∴0＜n＜|S_{1}-S_{2}|$
$∴0＜n＜2m-1$
$由于满足上述不等式组的整数n有且只有10个$
$∴10\lt 2m-1\leqslant 11$
$解得\frac {11}{2}＜m\leqslant 6$
$∴整数m 的值为6$
