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$(1)$证明：∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$

∵$DF=BF，$∴$EF $是$∆ABD$的中位线

∴$EF//AD，$∴$CF//AD$

∵$AF//CD，$∴四边形$AF CD$为平行四边形

$(2)$解：由$(1)$知，$EF $是$∆ABD$的中位线，∴$AD=2EF=2$

∵四边形$AF CD$为平行四边形，∴$CF=AD=2$

∵$∠EF B=∠CF B=90°$

∴$BC= \sqrt {CF^2+BF^2}= \sqrt {2^2+3^2}= \sqrt {13}$

解：$(1)$设每棵乙种树苗的价格为$x$元，则每棵甲种树苗$ $的价格为$(x+6)$元

根据题意，得$\frac {800}{x+6}=\frac {680}x$

解得$x=34$

经检验，$x=34$是所列方程的解，且符合题意

∴$x+6=34+6=40$

答：每棵甲种树苗的价格为$40$元，每棵乙种树苗的价格为$34$元。

$(2)$设购买乙种树苗$m $棵，则购买甲种树苗$(100- m)$棵

根据题意，得$40(100-m)+34\ \mathrm {m}≤3800$

解得$m≥\frac {100}3 $

又∵$m $为整数

∴$m $的最小值为$34$

答：至少购买乙种树苗$34$棵。