$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AD//BC，$∴$∠ODE=∠OBF$
∵$EF $垂直平分$BD，$∴$OB=OD$
在$∆OBF $和$∆ODE$中
$\begin {cases}{∠OBF=∠ODE}\\{OB=OD}\\{∠BOF=∠DOE}\end {cases}$
∴$∆BOF≌∆DOE(AS A)$
∴$BF=DE$
$(2)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB=CD，$$∠A=∠C，$$AD=BC$
∵$BF=DE，$∴$AE=CF$
在$∆ABE$和$∆CDF $中
$\begin {cases}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end {cases}$
∴$∆ABE≌∆CDF(S AS)$
$(3)$解：∵$EF $垂直平分$BD，$∴$BF=DF$
∵$∆ABE≌△CDF，$∴$DF=BE$
∴$∆DF C$的周长是$DF+CF+CD$
$=BF+CF+CD=BC+CD=15，$
$∆ABE$的周长也是$15，$分以下$3$种情况讨论：
$ ①$当点$P $在$AB$上，点$Q $在$CD$上时，如图①
∵$AB//CD，$∴$∠BPO=∠DQO$
∵$∠POB=∠DOQ，$$OB=OD$
∴$∆BPO≌△DQO$
∴$BP=DQ$
∴$m+n=BP+DF+CF+CQ$
$=DF+CF+CQ+DQ$
$=DF+CF+CD=15$
$ ②$当点$P $在$AE$上，点$Q $在$CF $上时，如图②
∵$AD//BC，$∴$∠PEO=∠QFO$
∵$∆EOD≌∆FOB，$∴$OE=OF$
又∵$∠EOP=∠FOQ$
∴$∆PEO≌∆QFO，$∴$PE=QF$
∵$AE=CF，$∴$CQ=AP$
∴$m+n=AB+AP+DF+FQ$
$=CD+CQ+DF+FQ$
$=DF+CF+CD=15$
$ ③$当点$P $在$BE$上，点$Q $在$DF $上时，如图③
∵$AD=BC，$$AE=CF，$∴$DE=BF$
又∵$DE//BF$
∴四边形$BEDF $是平行四边形
∴$OE=OF，$$BE=DF，$$BE//DF$
∴$∠PEO=∠QFO$
∵$∠EOP=∠FOQ，$$OE=OF$
∴$∆PEO≌∆QFO$
∴$PE=FQ$
∴$m+n=AB+AE+PE+DQ$
$=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15$
综上，$m $与$n$的关系为$m+n=15$
