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$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是矩形

∴$AD//BC，$∴$∠DEF=∠BFE$

由折叠的性质，得$∠DEF=∠BEF$

∴$∠BEF=∠BFE，$∴$BE=BF$

$(2)$解：由矩形的性质，得$CD=AB= \sqrt 3，$$∠C=90°，$

$BC= AD=2\sqrt 3$

由折叠的性质，得$CF=GF，$$BG=CD= \sqrt 3，$$∠G=∠C=90°$

设$CF=GF=x，$则$BF=2\sqrt 3-x$

在$Rt∆BGF $中，由勾股定理，得$BF^2=BG^2+FG^2$

∴$(2\sqrt 3-x)^2=(\sqrt 3)^2+x^2$

解得$x=\frac {3\sqrt 3}4，$∴$GF=\frac {3\sqrt 3}4$

∴$S_{△BGF}=\frac 12BG· FG=\frac 12× \sqrt 3×\frac {3\sqrt 3}4=\frac 98$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是矩形

∴$∠A=∠D=90°，$$AB=CD=4，$$AD=BC=3$

由折叠的性质，得$∠A=∠E=∠D=90°$

在$∆P DO$和$∆G EO$中

$\begin {cases}{∠D=∠E}\\{OD=OE}\\{∠DOP=∠EOG}\end {cases}$

∴$∆P DO≌∆G EO(\mathrm {ASA})$

∴$DP=EG$

$(2)$解：由折叠的性质，得$AP=EP，$$AB=BE$

$ $由$(1)$可知$∆P DO≌△GEO$

∴$OP=OG，$$OD=OE$

∴$OD+OG=OE+OP，$即$DG=PE$

∴$DG=PE=P A$

$ $设$AP=x，$则$P D=EG=3-x，$$DG=x$

∴$BG=BE-EG=4-(3-x)=1+x，$

$CG=DC-DG=4-x$

$ $在$Rt∆BCG $中，根据勾股定理得$BC^2+CG^2=BG^2$

$ $即$3^2+(4-x)^2=(1+x)^2$

$ $解得$x=2.4$

∴$AP=2.4$