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解：$(1)BF+BG=BD，$证明如下：

如图，过点$G $作$GH//CD$交$BD$于点$H$

∵四边形$ABCD$是菱形，$∠A=60°$

∴$BC=CD，$$∠C=∠A=60°$

∴$∆BCD$是等边三角形

∴$∠BDC=60°$

∵$GH//CD$

∴$∠BGH=∠C=60°，$

$∠BHG=∠BDC=60°$

∴$∆BGH$是等边三角形

∴$BG=HG=BH$

又∵$∆DFG $是等边三角形

则$GF=DG，$$∠FG D=60°$

∴$∠BGH-∠FGH=∠FG D-∠FGH，$

即$∠BGF=∠HG D$

∴$∆BFG≌∆HDG$

∴$BF=HD$

∴$BF+BG=HD+BH=BD$

$(2)BF+BG=BE$

BP=CE

CE⊥BC

解：$(2)(1)$中的结论仍然成立，证明：

连接$AC$

∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ABC=60°$

∴$AB=BC=CD=AD$

$∠ADC=∠ABC=60°，$

$∠ABD=\frac 12∠ABC=30°$

∴$∆ABC，$$∆ACD$为等边三角形

∴$∠BAC=∠ACB=60°，$$AB=AC$

∵$∆APE$是等边三角形

∴$AP=AE，$$∠P AE=60°$

∵$∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP，$

$∠CAE= ∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP$

∴$∠BAP=∠CAE$

∴$∆ABP≌∆ACE(S AS)$

∴$BP=CE，$$∠ACE=∠ABP=30°$

∵$∠ACB=60°$

∴$∠BCE=90°，$∴$BC⊥CE$

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