电子课本网 › 第6页

第6页

信息发布者：

$(1)$解：$∆OBE$为等边三角形，理由：

∵$OA=OE，$∴$∠OEA=∠OAE=75°$

∵$∠OAE+∠OEA+∠AOE=180°$

∴$∠AOE=30°$

∵四边形$ABCD$为正方形

∴$AO=BO，$$∠AOB=90°$

∴$OB=OE，$$∠BOE=60°$

∴$∆OBE$为等边三角形

$(2)$证明：过点$A$作$AF⊥AE$交$BE$的延长线于点$F$

∴$∠EAF=90°$

∵$∆OEB$为等边三角形，∴$∠OEB=60°$

∵$∠OEA=75°$

∴$∠AEF=180°-∠OEB-∠OEA=45°$

∴$∆AEF $为等腰直角三角形

∴$AE=AF，$$EF=\sqrt 2\ \mathrm {A}E$

∵四边形$ABCD$为正方形

∴$AD=AB，$$∠DAB=90°$

∴$∠DAE=∠BAF$

$ $在$∆ADE$和$∆ABF $中

$\begin {cases}{AD=AB}\\{∠DAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end {cases}$

∴$∆ADE≌∆ABF(S AS)$

∴$DE=BF$

∵$BF=EF+BE$

∴$ \sqrt 2\ \mathrm {A}E+BE=DE$

$(1)$证明：在正方形$ABCD$中，$AP=BP，$

$∠P AE= ∠P BF，$$∠AP B=90°$

∵$∠EPF=90°，$∴$∠AP B=∠EPF$

∴$∠APE=∠BPF$

∴$∆APE≌∆BPF(AS A)$

∴$AE=BF$

在正方形$ABCD$中$ \sqrt 2BC=AC$

∴$\sqrt 2(BF+CF)=AC，$即$\sqrt 2(AE+CF)=AC$

$(2)$解：图$②$中$\sqrt 2(CF-AE)=AC$

在正方形$ABCD$中，$AP=BP，$

$∠P AB=∠P BC，$$∠AP B=90°$

∴$∠P AE=∠P BF$

∵$∠EPF=90°，$∴$∠AP B=∠EPF$

∴$∠APE=∠BPF$

∴$∆APE≌∆BPF(\mathrm {AAS})$

∴$AE=BF$

在正方形$ABCD$中$ \sqrt 2BC=AC$

∴$\sqrt 2(CF-AE)=\sqrt 2BC=AC$

图$③$中$ \sqrt 2(AE-CF)=AC$

上一页下一页