第7页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形

∴$BC=CD，$$∠EBC=∠F CD=90°$

∴$∠BCE+∠OCD=90°$

∵$DF⊥CE$

∴$∠CDF+∠OCD=90°$

∴$∠BCE=∠CDF$

$ $在$∆CBE$和$∆DCF $中

$\begin {cases}{∠BCE=∠CDF}\\{BC=CD}\\{∠EBC=∠F CD}\end {cases}$

∴$∆CBE≌∆DCF(AS A)$

∴$BE=CF$

$(2)$解：连接$EG，$如图

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC=CD=AD=4，$

$∠B=∠F CD=∠A=∠D=90°$

∵$FG $垂直平分$CE，$且$BE=BF$

∴$GE=G C，$$FE=F C，$$EA=F C$

设$BE=BF=x，$则$EA=F C=EF=4-x，$

$EF= \sqrt {BE^2+BF^2}=\sqrt 2x$

∴$4-x=\sqrt 2x$

$ $解得$x=\frac 4{\sqrt 2+1}=4\sqrt 2-4，$

∴$EA=F C=EF=4-x=8-4\sqrt 2$

$ $设$DG=y，$则$AG=4-y，$

∴$AE^2+AG^2=DG^2+CD^2$

∴$(8-4\sqrt 2)^2+(4-y)^2=y^2+4^2$

解得$y=12-8\sqrt 2，$故$DG=12-8\sqrt 2$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC，$$∠ABC=∠BCD=90°$

∵$BE=CF，$∴$∆ABE≌∆BCF(S AS)$

$(2)①$∵$∆ABE≌∆BCF，$∴$∠BAE=∠CBF$

∵$∠ABF+∠CBF=90°$

∴$∠ABF+∠BAE=90°$

∴$∠AGF=∠ABF+∠BAE=90°$

∴$AE⊥BF$

∴$∠AG B=∠AGM=90°$

∵$AG=AG，$$G B=GM$

∴$∆AG B≌∆AGM(S AS)$

∴$∠BAG=∠MAG$

∵$AN$平分$∠DAM，$∴$∠DAN=∠MAN$

∵$∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°$

∴$2∠MAG+2∠MAN=90°$

∴$∠MAG+∠MAN=45°，$即$∠G AN=45°$

∴$∠ANG=180°-90°-45°=45°$

∴$∠G AN=∠ANG，$∴$AG=NG$

∴$∆AGN$是等腰直角三角形

$②$过点$B$作$BP⊥BN，$交$NA$的延长线于点$P$

∵$BP⊥BN，$$∠BNH=45°$

∴$∆P BN$是等腰直角三角形

∴$BP=BN$

∴$PN= \sqrt {BP^2+BN^2}=\sqrt 2BN$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$AB=BC，$$∠ABC=∠P BN=90°$

∴$∠P BA=∠CBN$

$ $在$∆BAP $和$∆BCN$中

$\begin {cases}{BP=BN}\\{∠P BA=∠NBC}\\{AB=CB}\end {cases}$

∴$∆BAP≌∆BCN(S AS)$

∴$AP=CN$

∴$PN=AP+AN=CN+AN$

∴$CN+AN=\sqrt 2BN$