$(1)$证明：设$M$为$AB$的中点，连接$EM，$如图①所示
∵四边形$ABCD$为正方形
∴$AB=BC，$$∠B=∠BCD=90°，$∴$∠DCN=90°$
∵$CF $平分$∠DCN，$∴$∠DCF=\frac 12∠DCN=45°$
∴$∠ECF=∠BCD+∠DCF=90°+45°=135°$
∵$E$是边$BC$的中点，$M$为$AB$的中点，$AB=BC$
∴$BM=AM=BE=CE$
∴$∆BEM$为等腰直角三角形，∴$∠BME=45°$
∴$∠AME=180°-∠BME=180°-45°=135°$
∴$∠AME=∠ECF=135°$
∵$∠B=90°，$$∠AEF=90°$
∴$∠MAE+∠BEA=90°，$$∠BEA+∠CEF=90°$
∴$∠MAE=∠CEF$
在$∆AME$和$∆ECF $中
$\begin {cases}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end {cases}$
∴$∆AME≌∆ECF(AS A)$
∴$AE=EF$
$(2)①$结论正确，证明如下：
∵$∆AME≌∆ECF，$∴$ME=CF$
$ $在$∆ABC$中，$E$是边$BC$的中点，$M$为$AB$的中点
∴$ME$为$∆ABC$的中位线
∴$ME=\frac 12\ \mathrm {A}C$
∴$CF=\frac 12\ \mathrm {A}C$
②结论正确，证明如下：
在$BA$上截取$BP=BE，$连接$PE，$如图②所示
则$∆BPE$为等腰直角三角形
∴$∠BPE=45°$
∴$∠APE=180°-∠BPE=180°-45°=135°$
∵$∠BCD=90°，$$∠DCF=45°$
∴$∠ECF=∠BCD+∠DCF=90°+45°=135°$
∴$∠APE=∠ECF=135°$
∵$AB=BC，$$BP=BE$
∴$AB-BP=BC-BE，$即$AP=EC$
∵$∠B=90°，$$∠AEF=90°$
∴$∠P AE+∠BEA=90°，$$∠BEA+∠CEF=90°$
∴$∠P AE=∠CEF$
在$△APE$和$∆ECF $中
$\begin {cases}{∠P AE=∠CEF}\\{AP=EC}\\{∠APE=∠ECF}\end {cases}$
∴$∆APE≌∆ECF(AS A)，$∴$AE=EF$
