电子课本网 › 第9页

第9页

信息发布者：

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$为正方形

∴$AB=AD=BC，$

$∠BAD=∠ABC=∠D=90°$

∴$∠ABP=90°=∠D$

∵$AP⊥AQ，$∴$∠P AQ=90°$

∴$∠P AB+∠BAQ=90°$

∵$∠DAQ+∠BAQ=90°$

∴$∠P AB=∠DAQ$

∴$∆P AB≌△Q AD(AS A)$

∴$P B=DQ$

∴$CP=BC+P B=AB+DQ$

$(2)$解：$CP=AB-DQ$

$ $四边形$P CQ A$的面积为$12$

解：$(1)EF=BE+DF，$理由如下：

如图①，将$∆ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$∆ADG$

由旋转的性质，得$DG=BE，$

$∠BAE=∠DAG，$$AE=AG$

∵$∠EAF=45°，$$∠BAD=90°$

∴$∠F AG=∠DAG+∠DAF$

$=∠BAE+∠DAF=45°$

∴$∠F AG=∠EAF$

又∵$AF=AF，$∴$∆AFE≌∆AFG(S AS)$

∴$EF=FG$

∵$FG=DF+DG=DF+BE$

∴$EF=BE+DF$

$(2)GH^2=AG^2+CH^2，$证明如下：

∵$BA=BC，$$∠ABC=90°$

∴$∠BAC=∠C=45°$

如图②，将$∆BCH$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到

$ ∆BAM，$连接$MG$

$ $由旋转知$BH=BM，$$∠C=∠BAM=45°，$

$∠ABM=∠CBH$

∴$∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°$

∵$∠HBG=45°$

∴$∠G BM=∠ABG+∠ABM$

$=∠ABG+∠CBH=90°-∠HBG=45°$

∴$∠HBG=∠MBG$

又∵$BG=BG$

∴$∆BGH≌∆BGM(S AS)$

∴$GH=GM$

∵$∠MAG=90°$

∴$AM^2+AG^2=GM^2$

∴$GH^2=AG^2+CH^2$

上一页下一页