解：$(1)①$补全图形如图$①$所示
②如图①，过点$F $作$FH⊥CB，$交$CB$的
延长线于点$H，$则$∠H=90°$
∵$DE$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EF$
∴$DE=EF，$$∠DEF=90°$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$CD=AB=BC=6，$$∠C=90°$
∵$∠DEF=∠C=90°$
∴$∠DEC+∠FEH=90°，$$∠DEC+∠EDC=90°$
∴$∠FEH=∠EDC$
在$∆EFH$和$∆DEC$中
$\begin {cases}{∠H=∠C=90°}\\{∠FEH=∠EDC}\\{EF=DE}\end {cases}$
∴$∆EFH≌∆DEC(\mathrm {AAS})$
∴$EC=FH=2，$$CD=BC=EH=6$
∴$HB=EC=2$
在$Rt∆FHB$中，$BF= \sqrt {FH^2+BH^2}=2 \sqrt 2$
$(2)$如图$②，$过点$F $作$FH⊥BC$交于点$H$
则$∠FHE=90°$
∵$DE$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EF$
∴$DE=EF，$$∠DEF=90°$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$CD=BC，$$∠DCB=90°$
∴$∠DCE=90°$
∵$∠DEF=∠DCE=90°$
∴$∠DEC+∠FEH=90°，$$∠DEC+∠EDC=90°$
∴$∠FEH=∠EDC$
$ $在$∆EFH$和$∆DEC$中
$\begin {cases}{∠FHE=∠ECD}\\{∠FEH=∠EDC}\\{EF=DE}\end {cases}$
∴$∆EFH≌∆DEC(\mathrm {AAS})$
∴$EC=FH，$$CD=BC=EH$
∴$HB=EC=HF$
∴$∆DCB$和$∆BHF $都是等腰直角三角形
∴$BD=\sqrt 2BC=\sqrt 2HE，$$BF=\sqrt 2BH$
∵$HE+BH=BE$
∴$BD+BF=\sqrt 2BE$
