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解：$(1)$把$A(1，$$m)，$$B(4，$$n)$代入$y=-\frac 12x+\frac 52$

得$\begin {cases}{m=-\frac 12+\frac 52}\\{n=-\frac 12×4+\frac 52}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=2}\\{n=\frac 12}\end {cases}$

∴$A(1，$$2)，$$B(4，$$\frac 12)$

把$A(1，$$2)$代入$y=\frac {k}x，$得$k=2，$则$y=\frac 2x$

$(2)$由函数图像知当$1＜x＜4$时，对于$x$的每一个值，

函数$y=-\frac 12x+\frac 52(p $为常数$)$的值都大于

函数$y=\frac 2{x}$的值

∴直线$y=-\frac 12x+p(p $为常数$)$在直线$AB$的上方

或与$AB$重合

∴$p≥\frac 52$

解：$(1)$由题意，将$B(-1，$$2)$代入$y=\frac {m}x$

得$m=-1×2= -2$

∵$A(2，$$a)$在双曲线$y=-\frac 2x$上

∴$a=-1，$∴$A(2，$$-1)$

将$A(2，$$-1)，$$B(-1，$$2)$代入$y=kx+b$

得$\begin {cases}{2k+b=-1}\\{-k+b=2}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k=-1}\\{b=1}\end {cases}$

∴直线$y=kx+b$的函数表达式为$y=-x+1$

$(2)$依题意，在$y=-x+1$中，令$y=0，$得$x=1$

∴$C(1，$$0)$

∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}$

$=\frac 12×1×1+\frac 12×1×2=\frac 32$

即$∆AOB$的面积是$\frac 32$

$(3)$依题意，结合图像，$\frac {m}{x}≤kx+b＜0$的解集为$1＜x≤2$