解：$(2)①$∵$y_{2}=\frac {x+2}{x+1}=\frac {x+1+1}{x+1}=1+\frac 1{x+1}$
∴$y_{2}=1+\frac 1{x+1}$的图像可由$y=\frac 1x$的图像先向左平移$1$个单位长度，
再向上平移$1$个单位长度得到
∴$y_{2}=1+\frac 1{x+1}$图像的对称点坐标为$(-1，$$1)$
∵$y_{1}=kx+b$的图像经过点$(-1，$$1)$和$A(0，$$2)$
∴$\begin {cases}{-k+b=1}\\{ b=2}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=2}\end {cases}$
∴$y_{1}=x+2. ，$$x=-2，$$(x=0，$
解方程组得$\begin {cases}{y=x+2}\\{y=\frac {x+2}{x+1}}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{x_{1}=-2}\\{ y_{1}=0}\end {cases}，$$\begin {cases}{x_{2}=0}\\{y_{2}=2}\end {cases}$
∴$B(-2，$$0)，$∴$y_{1}$和$y_{2}$的图像如图所示
观察图像可知，当$y_{1}＜y_{2}$时，$x＜-2$或$-1＜x＜0$
②存在；
∵函数$y=\frac 1x$的图像关于直线$y=x$和$y=-x$对称
∴把直线$y=x$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度，
得直线$y=x+2，$不过原点，舍去；
把直线$y=-x$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度，
得直线$y=-(x+1)+1=-x，$符合题意
∴存在过原点的直线$l∶y=-x$使得$''$和美函数$''y_{2}=\frac {x+2}{x+1}$关于直线$l$对称
