解：$ (2)$∵$(m+n \sqrt 3)^2=\mathrm {m^2}+2mn \sqrt 3+3n^2$
又$x+4\sqrt 3= (m+n \sqrt 3)^2$
∴$x=\mathrm {m^2}+3n^2，$$4=2mn$
∴$mn=2$
∵$m，$$n$都为正整数
∴$m=2，$$n=1$或$m=1，$$n=2$
当$m=2，$$n=1$时，$x=2^2+3×1^2=7；$
当$m=1，$$n=2$时，$x=1^2+3×2^2=13$
∴$m=2，$$n=1，$$x=7$或$m=1，$$n=2，$$x=13$
$(3)\sqrt {5+2\sqrt 6}= \sqrt {(\sqrt 2+\sqrt 3)^2}=\sqrt 2+ \sqrt 3$
