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B

①②③④

证明：(1)如图，连接$OD$、$OA，$过点$O$作$OH\perp AB$于点$H。$

$∵\triangle ABC$为等腰三角形，$O$是底边$BC$的中点，

$∴AO\perp BC，$$AO$平分$∠BAC。$

$∵AC$与半圆$O$相切于点$D，$

$∴OD\perp AC。$

$∵OH\perp AB，$

$∴OH = OD，$

$∴AB$与半圆$O$相切。

(2)设半圆$O$的半径为$r，$则$OD = OF = r。$

由（1）知，$OD\perp AC，$

$∴$在$Rt\triangle OCD$中，

由勾股定理，得$OD^{2}+CD^{2}=OC^{2}，$

即$r^{2}+4^{2}=(r + 2)^{2}，$

展开得$r^{2}+16=r^{2}+4r + 4，$

移项得$r^{2}-r^{2}-4r=4 - 16，$

合并同类项得$-4r=-12，$

解得$r = 3。$

$∴EF = 2r = 6。$

证明：$(1)$如图，连接$BE。$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$∠BAD=∠ADC = 90°。$

∵$∠BAD+∠BAE = 180°，$

∴$∠BAE = 90°，$

∴$BE$是$\odot O$的直径，$∠FAB+∠EAF = 90°。$

∵$∠FBG=∠FAB，$

∴$∠FBG+∠EAF = 90°。$

∵$\overset {\frown }{EF}=\overset {\frown }{EF}，$

∴$∠EAF=∠EBF，$

∴$∠FBG+∠EBF = 90°，$

∴$∠OBG = 90°，$即$OB\perp BG。$

又∵$OB$是$\odot O$的半径，

∴$BG $与$\odot O$相切。

$(2)$如图，连接$OA、$$OF。$

∵$DB$是正方形$ABCD$的对角线，

∴$∠FDE=\frac {1}{2}∠ADC = 45°。$

∵$BE$是$\odot O$的直径，

∴$∠EFB = 90°。$

∵$\triangle EFD$的内角和为$180°，$

∴$∠FED = 45°。$

∵$\overset {\frown }{AF}=\overset {\frown }{AF}，$

∴$∠AOF = 2∠FED = 90°。$

∵$OA = OF = 1，$

∴$AF=\sqrt {OA^2+OF^2}=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt {2}。$

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