证明：$(1)$因为$\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{CD}，$
所以$∠DBC = ∠EAC。$
$ $因为点$E$是$\triangle ABC$的内心，
所以$∠BAE=∠EAC，$$∠EBA = ∠EBC，$
所以$∠BAE=∠DBC。$
$ $因为$∠DEB=∠BAE+∠EBA，$$∠DBE=∠EBC+∠DBC，$
所以$∠DBE=∠DEB，$
所以$DB = DE。$
$(2)$证明：连接$CD。$
$ $因为点$E$是$\triangle ABC$的内心，
所以$∠DAB=∠DAC，$
所以易得$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CD}，$
所以$BD = CD。$
$ $因为$BD = DF，$
所以$CD = BD = DF，$
所以$∠BCD=∠CBD，$$∠DCF=∠F。$
$ $因为$\triangle BCF $的内角和为$180°，$
所以易得$∠BCF = 90°，$即$BC\perp CF。$
$ $又因为$BC$为$\odot O$的直径，
所以直线$CF $为$\odot O$的切线。
