第61页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

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$\frac{1}{2}$

证明：$(1)$连接$OD。$

$ $因为$AB$为$\odot O$的切线，

所以$OD\perp AB，$

则$∠ODA = 90°，$

所以$∠AOD+∠A = 90°。$

$ $因为$OC = OD，$

所以$∠ACD=∠ODC，$

所以$∠AOD=∠ACD+∠ODC = 2∠ACD，$

所以$2∠ACD+∠A = 90°。$

$ $因为$∠ACB = 90°，$

所以$∠ABC+∠A = 90°，$

所以$∠ABC = 2∠ACD。$

$(2)$设$\odot O$的半径为$r，$则$OD = OC = r，$$OA = 8 - r。$

$ $因为$∠ACB = 90°，$$AC = 8，$$BC = 6，$

在$Rt\triangle ACB$中，根据勾股定理$AB=\sqrt {6^2+8^2} = 10。$

$ $因为$∠ACB = 90°，$$OC$是$\odot O$的半径，

所以$BC$是$\odot O$的切线。

$ $因为$AB$切$\odot O$于点$D，$

所以$BD = BC = 6，$

所以$AD = AB - BD = 4。$

$ $在$Rt\triangle ODA$中，由勾股定理，得$OD^2+AD^2=OA^2，$

即$r^2+4^2=(8 - r)^2，$

$ $展开得$r^2+16 = 64-16r+r^2，$

$ $移项得$16r = 64 - 16，$

$ $解得$r = 3，$

所以$\odot O$的半径为$3。$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$∠DAB=∠B=∠D=∠DCB=90°，$

$AB=BC=CD=AD，$

∴$DA$和$CD$都是圆$B$的切线$.$

∵$PQ{切圆}B$于$F，$

∴$AP=PF，$$QF=CQ，$

∴$△DPQ $的周长是$DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF$

$=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD=8.$

∵正方形$ABCD$的周长$=4×4=16，$

∴$△DPQ $的周长等于正方形$ABCD$的周长的一半$.$

$(2)$解：∵在$Rt△PDQ $中，$DP^2+DQ^2=PQ^2，$

∴$(4-x)^2+(4-CQ)^2=(x+CQ)^2，$

解得$CQ=\frac {16-4x}{x+4}，$

∴$DQ=4-\frac {16-4x}{x+4}=\frac {8x}{x+4}.$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$AD∥BC，$

∴$△PDQ∽△MCQ，$

∴$\frac {DP}{CM}=\frac {DQ}{CQ}，$即$\frac {4-x}{y-4}=\frac {\frac {8x}{x+4}}{\frac {16-4x}{x+4}}，$

整理可得$y=\frac {8}{x}+\frac {1}{2}x.$

因此$y$与$x$之间的函数关系式是$y=\frac {8}{x}+\frac {1}{2}x.$